1. النقد الأساسي لطريقة دراسة إشارة الفرق ($u_{n+1} - u_n$)

تعتبر دراسة إشارة الفرق $u_{n+1} - u_n$ (سواء جبرياً أو باستخدام جدول إشارة كثير الحدود $f(x) - x$) عملاً خاطئاً وغير مفيد لدراسة المتتاليات التراجعية.

سبب الخطأ:

• الخلط بين $u_n$ و $x$: الخطأ المنهجي يكمن في اعتبار $u_n$ هي المتغير $x$ (المستمر) واعتبار $u_{n+1}$ هي $f(x)$ لدراسة الإشارة. هذا غير صحيح لأن حدود المتتالية $u_n$ هي أعداد منفصلة ضمن مجال معين، وليست كل الأعداد في ذلك المجال.
• مشكلة توسيع المجال: قد يعطي واضع التمرين مجالاً أوسع ($[a, b]$) يحتوي حدود المتتالية الحقيقية، وعند دراسة الفرق على هذا المجال الأوسع، قد نجد أن الإشارة تتغير (موجبة ثم سالبة). هذا يسبب إشكالية في الحكم على المتتالية (هل هي متزايدة أم متناقصة؟)، بينما هي في الحقيقة قد تكون رتيبة تماماً (متزايدة أو متناقصة) في نطاقها الحقيقي.

ملاحظة: طريقة دراسة الفرق $u_{n+1} - u_n$ تكون مفيدة فقط إذا كانت المتتالية معرفة بحدها العام بدلالة $n$ (مثل $u_n = f$) في المجال $[0, +\infty)$.

2. المنهجية الصحيحة لدراسة المتتاليات التراجعية

تعتمد المنهجية الصحيحة على خاصيتين أساسيتين: تحديد مجال الحدود، ورتابة الدالة المرفقة $f$.

أ. ضمان توليد العناصر وتحديد المجال

الخطوة الأولى والأكثر أهمية هي إثبات أن المتتالية $u_n$ معرفة لجميع الأعداد الطبيعية $n$ (تولد العناصر دون توقف).

1. المجال والاحتواء: يجب التأكد من أن الحد الأول $u_0$ يقع في مجال $[a, b]$، وأن صورة المجال $f([a, b])$ محتواة في المجال الأصلي $[a, b]$.
2. الحدود في نفس المجال: إذا تحقق هذا الشرط، فإن جميع حدود المتتالية $u_n$ تكون موجودة في المجال $[a, b]$.

ب. الاعتماد على رتابة الدالة $f$ (المنهجية المعتمدة في التعليم الثانوي)

في تمارين المتتاليات التراجعية في المرحلة الثانوية، يجب أن تكون الدالة المرفقة $f$ رتيبة في المجال $[a, b]$ (إما متزايدة تماماً أو متناقصة تماماً).

الحالة الأولى: إذا كانت الدالة $f$ متزايدة تماماً

إذا كانت $f$ متزايدة تماماً في المجال $[a, b]$، فإن المتتالية $u_n$ تكون رتيبة (إما متزايدة أو متناقصة).

يتم الحكم على اتجاه التغير بناءً على مقارنة الحد الأول $u_0$ بالحد الثاني $u_1$:

• متزايدة تماماً: إذا كان $u_0 < u_1$ (أي $u_1$ أكبر من $u_0$)، فإن المتتالية $u_n$ تكون متزايدة تماماً. (وذلك لأن الدالة المتزايدة تحافظ على الترتيب: $u_1 < u_2 < u_3$ وهكذا).
• متناقصة تماماً: إذا كان $u_0 > u_1$ (أي $u_1$ أصغر من $u_0$)، فإن المتتالية $u_n$ تكون متناقصة تماماً. (وذلك لأن الدالة المتزايدة تحافظ على الترتيب: $u_1 > u_2 > u_3$ وهكذا).

خلاصة: إذا كانت $f$ متزايدة، فإن اتجاه التغير يصدر بناءً على الحدين الأول والثاني.

الحالة الثانية: إذا كانت الدالة $f$ متناقصة تماماً

إذا كانت $f$ متناقصة تماماً في المجال $[a, b]$، فإن المتتالية $u_n$ تكون ليست رتيبة (Non-Monotonic).

• تكون الحدود غير مرتبة حيث تتعاكس جهة المتباينة مع كل صورة.
• لا نحتاج إلى حساب $u_0$ و $u_1$ في هذه الحالة، ويكفي ذكر أن $f$ متناقصة تماماً للحكم على أن المتتالية ليست رتيبة.

3. تطبيق المنهجية (البرهان)

عندما يُطلب إثبات رتابة المتتالية، يمكن استخدام البرهان بالتراجع مع الاستفادة من رتابة الدالة $f$.

• الفرضية التراجعية: نفرض الترتيب المتوقع (المستنتج من مقارنة $u_0$ و $u_1$).
• خطوة البرهان: نستخدم الدالة $f$ على طرفي الفرضية. إذا كانت $f$ متزايدة، فإن الترتيب يبقى نفسه.
• الحرية المنهجية: إذا أعطي المنحنى البياني للدالة $f$، يجب أن يُسمح للطالب باستخدام ملاحظة رتابة الدالة من المنحنى مباشرة واستنتاج اتجاه تغير المتتالية بناءً على النظرية (مقارنة $u_0$ و $u_1$)، دون فرض البرهان بالتراجع.

خلاصة النصيحة المنهجية: لا تلجأ إلى دراسة إشارة الفرق $u_{n+1} - u_n$ أو وضع الجداول، بل اعتمد على رتابة الدالة $f$ وترتيب الحدين الأول والثاني $u_0$ و $u_1$.